Pitágoras de Samos (do grego Πυθαγόρας) foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos pelos anos de 571 a.C. e 570 a.C. e morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C. em Metaponto.
A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome significa altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois sua mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional.
Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega chamada em sua homenagem de pitagórica.
Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como referentes a suas viagens e a seus contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o Filósofo e matemático grego nasceu no ano de 571 a.C. ou 570 a.C. na cidade de Samos, fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental cujo principais enfoques eram: harmonia matemática, doutrina dos números e dualismo cósmico essencial. Aliás, Pitágoras foi o criador da palavra "filósofo".
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Pitágoras cunhado em moeda
Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números - para eles o número (sinônimo de harmonia) era considerado como essência das coisas - é constituído então da soma de pares e ímpares, noções opostas (limitado e ilimitado) respectivamente números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação, criando a teoria da harmonia das esferas (o cosmos é regido por relações matemáticas).
A observação dos astros sugeriu-lhes a idéia de que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas, por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contem as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos (já que há obscuridades que cerca o pitagorismo devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo.
Foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C..
[editar] A escola de Pitágoras
Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.
Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.
![O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica.]()
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O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica.
O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.
Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais dó, ré, mi, etc. Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis.
O seu nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites. Sua filosofia baseou uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-Pitagorica.
A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose.
Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos factores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir seu papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos favoreciam a expansão de cultos populares ou estrangeiros.
Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a sua alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar sua purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.
Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a sua estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.
[editar] Principais descobertas
Apesar de todo o misticismo, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.
[editar] Números figurados
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Ver artigo principal: Números figurados
Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4.
[editar] Números perfeitos
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Ver artigo principal: Números perfeitos
A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:
- Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6.
- Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
[editar] Teorema de Pitágoras
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Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras
![Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.]()
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Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.
Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
![1^2 + 1^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.]()
Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".
A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.
[editar] Reitor da primeira universidade
![Estátua de Pitágoras.]()
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Estátua de Pitágoras.
A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.
Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º).
Pitágoras (560(?) – 500(?) a.C.) nasceu na Ásia Menor, na ilha de Samos. Percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e quiçá Índia e Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. É oportuno lembrar a sua contemporaneidade com Tales, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.
Retornando a Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na Ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".
A Escola Pitagórica e suas atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:
- prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;
- lealdade entre os seus membros e distribuição comunitária dos bens materiais;
- austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola;
- proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que seus discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras. A palavra hecatombe que significa mortandade ou carnificina, deve sua etimologia ao grego: sacrifício de 100 bois);
- purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;
- classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;
- "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons);
- grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;
- na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades em suas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo;
- aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";
- na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas:
Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria".
Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”.
A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verve de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.
Pensamentos de Pitágoras
- Educai as crianças e não será preciso punir os homens.
- Não é livre quem não obteve domínio sobre si.
- Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.
- O que fala semeia; o que escuta recolhe.
- Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
- Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.
- Todas as coisas são números.
- A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.
- A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.
- A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se.
- A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.
O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:
![c^2 = a^2 + b^2.\,]()
[editar] Passos históricos
Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:
![Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o seu nome.]()
Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o seu nome.
- Desenha-se um quadrado de lado a + b;
- Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
- Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos rectos, traçando as diagonais. Chama-se C o comprimento de cada diagonal;
- A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a a2 + b2;
- Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.
Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: c2
Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a2 + b2 = c2, ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.
Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.
Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.
Por semelhança de triângulos
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![\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)]()
![\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)]()
Da figura ![c = d + e \,\!]()
e substituindo pelas equações (1) e (2):
![c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}]()
Multiplicando tudo por c:
![c^2 = a^2 + b^2 \,\!.]()
[editar] Comparando áreas
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O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:
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A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:
![l^2+l^2=d^2\,\! \Rightarrow]()
![2l^2=d^2\,\! \Rightarrow]()
![d=\sqrt{2l^2}\,\! \Rightarrow]()
![d= l \sqrt{2}\,\!.]()
[editar] Triângulo Equilátero
A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes; sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:
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![l^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+h^2\,\! \Rightarrow]()
![l^2=\frac{l^2}{4}+h^2\,\! \Rightarrow]()
![\frac{4l^2}{4}= \frac{l^2}{4} + \frac{4h^2}{4}\,\! \Rightarrow]()
![4l^2=l^2+4h^2\,\! \Rightarrow]()
![4h^2=3l^2\,\! \Rightarrow]()
![h^2=\frac{3l^2}{4}\,\! \Rightarrow]()
![h= \sqrt{\frac{3l^2}{4}}\,\! \Rightarrow]()
![h = \frac{l\sqrt3}{2}\,\!.]()
- O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.
- O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.
Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os seus catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:
![\cos(c)=\cos(a)\cos(b)\,\!]()
![\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b)\,\!]()
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Quem foi Pitágoras?
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Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prémios nos Jogos Olímpicos.
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Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egipto, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos exotéricos neles disponíveis.
Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colónia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália.
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Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egipto, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.
Durante cerca de quarenta anos ele leccionou para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c..
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A Escola de Pitágoras
A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola.
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.
A ninguém era permitido registar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores.
Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores.
Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.
Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.
Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.
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História e lenda do Teorema de Pitágoras
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Os geómetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por rectas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.
Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes ( isto é, da mesma forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.
Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema:« Num triângulo rectângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos deuses, em sinal de agradecimento e de alegria.
Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais, nem livros, nem revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na «história de Pitágoras». Talvez não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois, mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho: tudo isto pode ser só lenda.
Mas que um estudioso da Grande Grécia ( com esta expressão incluíam-se a Itália Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.c., tenha mostrado com um raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre os quadrados dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo rectângulo, acreditamos que seja verdade.
Sabemos, para além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em ciência racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe - demonstrou verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.c., que «a soma dos quadrados dos dois catetos, num triângulo rectângulo, é sempre igual, ou melhor, equivalente, ao quadrado da hipotenusa». |
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